Прямое (декартово) произведение множеств

Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое A B (читается «А прямо на В»), которое состоит из всех упорядоченных пар вида (a,b), где элемент а пробегает все множество А, элемент b пробегает все множество В, т.е. А В= .

Пример 1. Пусть A= , B= .

Найти A B, B A.

Решение:

, т. е. операция не является коммутативной.

.

Определение 12. Упорядоченная n-ка вида (a₁,a₂,..,a_n) называется кортэжем длины n.

Определение 13. Прямым (декартовым) произведением множеств A₁,A₂,..,A_n называется множество всех кортэжей длины n вида (a₁,a₂,..,a_n), где a_i прoбегает все множество A_{i ,} i= , и обозначается A₁ A₂ A_n или A_i , т.е. A₁ A_n = .

Пусть A_i , , - совокупность множеств. Тогда - декартово произведение множеств.

Замечание 1. Множество называется n-й прямой степенью множества A, и обозначается , т.е. В частности, - декартов квадрат множества A.

Бинарные отношения

Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.

В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерами отношений являются:

1) « » - на множестве ℝ.

2) « » - на множестве P(U).

3) « » - между множеством всех точек плоскости и множеством всех прямых:

M N K

a b c

Упорядоченные пары (M,a),(N,b),(K,c) удовлетворяют условию третьего пункта, а (M,b) не удовлетворяет условию третьего пункта.

Для того, чтобы определить бинарное отношение, достаточно задать множество объектов, для которых имеет смысл говорить о данном отношении, и выбрать из него те пары объектов, которые удовлетворяют рассматриваемому отношению.

Определение 15. Бинарным отношением между множествами A и B называется всякое подмножество множества .

Бинарные отношения обозначают следующим образом: . Если , то называется бинарным отношением на множестве A.

Замечание 1. Если , где , то говорят, что элемент находится в отношении с элементом , и часто пишут , т.е. .

Определение 16. Пусть R – бинарное отношение между множествами A и B. Областью определения бинарного отношения R называется множество первых координат всех пар из R, и обозначается DomR, т.е. .

Определение 17. Пусть R – бинарное отношение между множествами A и B. Областью значений бинарного отношения R называется множество вторых координат всех пар из R, и обозначается Im R, т.е. .

Определение 18. Пусть R – бинарное отношение между множествами A и B. Множество D(R)= Dom R Im R называется областью отношений бинарного отношения R.

Определение 19. Пусть - множества. n-арным отношением между множествами называется всякое подмножество множества .

При n=1 мы получаем унарные отношения, при n=2 - бинарные отношения, при n=3 – тернарные отношения.