Метод простых итераций

Рассмотрим более общий итерационный метод уточнения корней. Представим исходное уравнение в виде .

Пусть нам известно начальное приближение к корню . Подставив его в правую часть уравнения получим новое приближение , затем аналогичным образом получим и так далее, .

Оказывается, что при определенных свойствах функции последовательность , определяемая по формуле , сходится к корню уравнения .

Теорема.Пусть функция определена и диффе­ренцируема на отрезке [a;b], причем все ее зна­чения . Тогда, если выполняется условие при : a<x<b

1) процесс итерации сходится не зависимо от начального значения ;

2) предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке .

Рассмотрим графически процесс получения приближений в методе простых итераций (рис.5). Необходимо отыскать точку пересечения кривой и прямой .

На рисунке 5, (а) изображена некоторая кривая , которая может представлять собой любую функцию, но сейчас для нас важно то обстоятельство, что производная этой функции в окрестности корня . Пусть - корень уравнения, который, естественно, предполагается неизвестным. Выберем начальное приближение в точке . Следующее приближение . Для того, чтобы отобразить на графике можно провести через точку прямую, параллельную оси , до пересечения с прямой , а затем в точке пересечения этих прямых опустить перпендикуляр на ось , который и отметит положение точки . Аналогично получаются все последующие приближения. Из рисунка видно, что они сходятся к корню. Напомним, что для рассмотрения мы взяли функцию, производная которой .

Рисунок 5. Метод простых итераций: а) односторонний сходящийся процесс; б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.

Рассмотрим теперь другую функцию , производная которой отрицательна, по абсолютному значению. Этот случай изображен на рисунке 5, в). Последовательные приближения также сходятся к корню, но на этот раз каждое последующее приближение находится с противоположной стороны от корня. В то время как в первом случае все последовательные приближения находились с одной стороны от корня.

Наконец, рассмотрим случай, когда произвольная функции (рис. 5, б) и (рис. 5, г). В обоих случаях каждое последующее приближение отстоит дальше от корня, т.е. итерационный процесс расходится. Из сказанного выше можно предположить, что итерационный процесс сходится при условии, что производная .