Приложения двойного интеграла

Вычисление объема тела

Согласно геометрическому смыслу двойной интеграл

выражает объем цилиндрического бруса, ограниченного сверху поверхностью f(x,y), снизу – областью (D), лежащей в плоскости Oxy, с боков – цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей является кривая, ограничивающая область (D).

Пример 8. Найти объем тела, ограниченного поверхностями , .

Решение.

Рис. 10

Данное тело представляет собой вертикальный цилиндр (рис. 10). Для построения тела заметим, что образующие параболического цилиндра параллельны оси Oz, плоскость параллельна плоскости xOz. Сверху тело ограничено частью плоскости , поэтому f(x,y) = 4 – x – y. Основанием тела, т.е. областью интегрирования (D) является часть плоскости xOy, заключенная между параболой и прямой . Таким образом .

Для вычисления двойного интеграла перейдем к повторному интегралу с внутренним интегрированием по переменной x и внешним – по переменной y. Для определения пределов интегрирования восстановим отдельно область

Рис. 11

интегрирования (D) (рис. 11). Ордината точки пересечения параболы с прямой равна 1, следовательно, для области (D) , а переменная x изменяется от до . В итоге для искомого объема получается:

.

Ответ. (куб. ед.)

Пример 9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

Решение.

Рис. 12

Данное тело представляет собой пересечение двух параболоидов вращения (рис. 12). Для построения тела найдем линию L пересечения данных поверхностей. Для этого решим систему: Исключая из этой системы z, получим – уравнение вертикальной цилиндрической поверхности, которая проходит через линию L и проектирует ее на плоскость xOy. Полученное уравнение

будет и уравнением проекции линии L на плоскость xOy – окружности L₁, ограничивающей область (D).

Объем искомого тела можно найти как разность объемов двух вертикальных цилиндрических тел, которые имеют общее нижнее основание (D) на плоскости xOy, а сверху ограничены данными поверхностями.

.

Для упрощения вычисления интеграла преобразуем его к полярным координатам. Полагаем , тогда подынтегральная функция примет вид:

.

Область интегрирования (D) ограничена окружностью , уравнение которой в полярных координатах: . Из рис.12 следует, что переменная r изменяется от 0 до , а переменная φ от 0 до 2π.

Используя формулу перехода к полярным координатам в двойном интеграле, получим:

.

Ответ. (куб. ед.)

Вычисление площадей плоских фигур.

Двойной интеграл по квадрируемой области (D) в случае равен объему цилиндрического бруса с высотой 1, что численно совпадает с площадью S области (D), то есть

.

Пример 10. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

Рис. 13

Выполним построение данной фигуры (рис. 13). Первое уравнение определяет нижнюю половину окружности с центром в точке (0,6) и радиусом равным 6. Второе уравнение определяет верхнюю половину окружности с центром в точке (0,0) и радиусом равным 6. Используя третье уравнение x = 0 и условие , устанавливаем, что необходимо рассматривать

область пересечения окружностей, расположенную в первой четверти. Площадь полученной фигуры будем находить по формуле:

Для вычисления двойного интеграла перейдем к повторному интегралу с внутренним интегрированием по переменной y и внешним – по переменной x. Для определения пределов интегрирования по переменной x найдем абсциссу точки пересечения окружностей.

Решив систему, получим координаты точки пересечения окружностей . Таким образом, переменная x изменяется от 0 до . Для определения пределов внутреннего интеграла проведем через область (D) луч, параллельный оси Oy и сонаправленный с ней. Из чертежа следует, что точка входа луча в область (D) лежит на полуокружности, уравнение которой , а точка выхода – на окружности . Эти уравнения являются нижним и верхним пределами внутреннего интеграла соответственно. В итоге получим:

Для вычисления используем метод интегрирования по частям

.

Таким образом, .

Разрешая это уравнение относительно , получим:

.

Откуда .

Возвращаемся к исходному интегралу:

.

Ответ. (кв. ед.)

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение.

Рис. 14

Приведем уравнения окружностей к каноническому виду (см. пример 7): и . Радиусы окружностей равны 1 и 2, центры находятся в точках (0, 1) и (0, 2) (рис. 14). – уравнения прямых. Выполним построение данной фигуры (рис. 14). Переходим к полярным координатам: , . Уравнения окружностей в полярной системе координат имеют вид: и .

Переведем в полярные координаты уравнения прямых:

, ;

, .

Таким образом переменная r изменяется от до , а переменная φ от до . Вычисляем площадь:

.

Ответ. (кв. ед.)