Спектральная плотность входного сигнала

РАССЧИТЫВАЕМЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1. Корреляционная функция для входного сигнала.

2. Спектральная плотность входного сигнала, амплитудный и фазовый спектр, ширина спектра.

3. Частотный коэффициент передачи цепи, АЧХ, ФЧХ.

4. Импульсная и переходная характеристики цепи.

5. Спектральная плотность выходного сигнала, амплитудный и фазовый спектр, ширина спектра.

6. Выходной сигнал.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Схема электрическая принципиальная:

Входной сигнал:

 

	uвх(t)
		U

 

 

Параметры элементов цепи и сигнала:

 

Вариант	Параметры
	C C1,нФ
C C2,нФ
L L1 мГн
L L2,мГн
R1,кОм
R2,кОм
U,В
Е T,мкс

1. Нахождение корреляционной функции для входного сигнала, сдвинутого на на интервале

При обработке сигналов часто приходится сравнивать сигнал со смещёнными во времени копиями этого сигнала, а также другими сигналами. О степени связи сигнала со смещёнными копиями можно судить по корреляционным функциям. Для вещественного сигнала S(t), имеющего конечную энергию на бесконечном интервале времени автокорреляционная функция определяется следующим образом:

(1.1)

где -интервал сдвига функции.

При таком определении автокорреляционная функция (АКФ) имеет размерность энергии.

В нашем случае мы имеем сигнал треугольной формы, представленный на рис 1.1.

	u

 

 

 

 

Рис.1.1 Исходный сигнал.

 

 

Математически исходный сигнал можно записать:

 

τ

Рис.1.2 Смещенный во времени сигнал

 

 

 

Корреляционная функция для входного сигнала, сдвинутого на на интервале [τ, T], согласно (1.1) определяется следующим образом:

 

(1.2)

где s ( ) - единичная функция

 

График корреляционной функции (1.2) представлен на рис.1.3

 

 

Рис.1.3 Корреляционная функция входного сигнала

 

 

Нахождение интервала корреляции:

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Подставляя (1.4) и (1.5) в (1.3), найдем значение интервала корреляции:

 

Спектральный анализ входного сигнала

Спектральная плотность входного сигнала

(2.1.1)

 

Данная функция является спектральной плотностью сигнала s(t). Формула (2.1.1) осуществляет преобразование Фурье данного сигнала. Спектральная плотность - комплекснозначная функция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе элементарных синусоид. Модуль спектральной плотности есть амплитудный спектр сигнала, а ее аргумент - фазовый спектр.

Запишем математическое выражение для входного сигнала, используя единичную функцию :

 

(2.1.2)

 

График входного сигнала представлен на рис. 2.1

 

Рис.2.1 Входной сигнал

 

 

Представим сигнал в операторной форме. При нахождении изображения сигнала по Лапласу необходимо учитывать свойство временного сдвига:

(2.1.3)

При этом изображения простых сигналов определяются как:

(2.1.4)

Применяя свойство линейности и временного сдвига (2.1.3), а также, учитывая (2.1.4) найдем изображение нашего сигнала:

(2.1.5)

Так как площадь фигуры, ограниченной графиком функции s(t) и осью абсцисс, является конечной величиной, сигнал s(t) – абсолютно интегрируемый, следовательно, для перехода от изображения к спектральной плотности достаточно заменить p на jω.

Заменив p на jω, получим:

Для преобразования используем формулу Эйлера (2.1.6):

(2.1.6)

Тогда

(2.1.7)