Параметры генеральной и выборочной совокупностей

Статистическая оценка выборки

Статистические данные широко используются практичес­ки во всех сферах науки, производства и управления. Чтобы управлять грамотно и эффективно, необходимо исследовать объект наблюдения и выявить его основные свойства. Обыч­но статистические данные очень объемны, поэтому в процес­се их использования требуются такие методы, при которых по достаточно ограниченной совокупности можно получить сведения обо всем объекте в целом. Таки методы и предлага­ет математическая статистика.

Математическая статистика является фундаментом для создания выборочного метода, при котором выводы, сделан­ные на основе изучения части совокупности (случайной вы­борки), распространяются на всю генеральную совокупность. В этом заключена сущность выборочного метода и его веду­щая роль в статистике. Теорема Чебышева служит обоснова­нием выборочного метода, широко применяемого в статис­тике, когда по случайной выборке судят обо всей совокуп­ности исследуемых объектов.

Пусть, например, нам необходимо провести анализ днев­ной выручки торговых киосков города, которых насчиты­вается более 1000. Все киоски города — это генеральная совокупность (определение 11.5). Числовые характеристи­ки генеральной совокупности нам не известны: средняя днев­ная выручка, дисперсия и среднее квадратическое отклоне­ние дневной выручки, доля киосков, в которых дневная выручка не превышает 1000 долларов и т.д.

Определение 13.1.Доля единиц, обладающих тем или иным признаком в генеральной совокупности, называ­ется генеральной долей и обозначается р.

Определение 13.2.Параметрами генеральной совокуп­ности называют характеристики генеральной совокупно­сти, такие как средняя арифметическая, дисперсия, гене­ральная доля ( ).

Обследовать все киоски и долго, и дорого, поэтому сле­дует воспользоваться результатами выборочного обследо­вания. Пусть из генеральной совокупности случайным об­разом извлекается выборка объемал n (например, п = 50 ки­осков, тогда выборка будет называться 5-процентной).

В предыдущей лекции приводится описание исследова­ния выборочной совокупности по данным вариационного ряда, который является статистическим распределением вы­борки, а также определены методы расчета основных ха­рактеристик выборки. Эти характеристики называются вы­борочными статистиками.

Определение 13.3.Статистическим распределением вы­борки называют перечень возможных значений призна­ка х. и соответствующих ему частот или относительных частот (частностей).

К выборочным статистикам относятся:

► _еы6 — выборочная средняя;

► _вы6 — выборочная дисперсия;

► выб. — выборочное среднее квадратическое отклонение;

► — выборочная доля — это доля в выборке элементов, которые обладают некоторым свойством ( = —, где п — объем выборки, a m — количество единиц выборочной совокупности, обладающих этим свойством). Статистики, получаемые по различным выборкам, как правило, отличаются друг от друга. Например, если исполь­зовать собственно-случайный отбор студентов из всего кол­леджа для определения среднего балла по математическим дисциплинам (из 600 студентов случайным образом отбира­ют 60 человек), то, проведя этот отбор несколько раз, можно

получить разные значения выборочных статистик. В пер­вой выборке средний балл оказался равным 3,82, во вто­рой — 3,89, в третьей — 3,78. Поэтому статистика, получен­ная из выборки, отличается от соответствующего парамет­ра в генеральной совокупности, но является оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности.

Определение 13.4. Оценкой параметра называется опре­деленная числовая характеристика, полученная из выбор­ки. Когда оценка определяется одним числом, ее назы­вают точечной оценкой.

В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. Теоретическое обоснование возможности использования этих выборочных оценок для суждений о характеристиках и свойствах генеральной совокупности дают закон больших чисел и центральная предельная тео­рема Ляпунова.

Выборочная средняя является точечной оценкой генераль­ной средней, т.е. Х_выб Х_ген Генеральная дисперсия имеет 2 точечные оценки: — выборочная дисперсия; S² — исправленная выборочная дисперсия, первая исчисляется при п 30, a S² — при <30.

Имеет место равенство:

(13.1)
ИЛИ

При больших объемах выборки и S² практически совпадают.

Генеральное среднее квадратическое отклонение σ_ген так­же имеет 2 точечные оценки: . — выборочное среднее квадратическое отклонение и S — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. σ_выб используется для оценивания σ_ген при n 30, а 5—для оценивания σ_ген ,

при п < 30; при этом σ_выб

Для того чтобы статистики служили хорошими оценка­ми параметров генеральной совокупности, они должны обладать рядом свойств: несмещённости, эффективности, состоятельности, достаточности. Всем указанным свой­ствам отвечает выборочная средняя. σ²_еыб — смещённая оценка. Для устранения смещения при малых выборках вводится поправка