Проективная плоскость и ее модели

БИЛЕТ №16

Проективное пространство – некоторое непустое множество Р элементов, называемых точками, в предположении, что задано отображение f: , которое удовлетворяет аксиомам проективного пространства:

1) Отображение f сюръективно, т.е. любой элемент из Р имеет хотя бы один прообраз.

2) Равенство вып-ся тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

Здесь — множество ненулевых векторов некоторого векторного пространства V.

Если найдено конкретное множество Р и конкретное отображение f, то говорят, что построена интерпретация (реализация) данной си­стемы аксиом. Само множество Р называется моделью проективного пространства. Рассмотрим некоторые модели проективной плоскости.

1. Пусть А₃ — трехмерное аффинное пространство над вектор­ным пространством V. Обозначим через Р₂ множество всех прямых пространства А₃, проходящих через некоторую фиксированную точку О (связка прямых с центром в точке О). Рассмотрим отображение по следующему закону: ненулевому векто­ру из V поставим в соответствие прямую, проходящую через точку О и параллельную вектору . Отображение f удовлетворяет аксиомам проективного пространства, поэтому Р₂ — модель проективной плоскости. В этой модели., проективными точками являются прямые связки с центром О, а проективными прямыми — множество всех прямых, проходящих через точку О и лежащих в некоторой плоскости.

2. Построим другую модель проективной плоскости, основанную на понятии расширенного евклидова пространства. Пусть — расширенная плоскость трех­мерного расширенного евклидова пр-ва над векторным пр-вом V. Возьмем собственную точку О этого пространства, не лежащую в плоскости , и рассмотрим отображение по следующему закону: каждому ненулевому вектору из V поставим в соответствие точку, в которой прямая, проходящая через О па­раллельно вектору а, пересекает плоскость (рис.). Так как любая прямая, проходящая через точку О, пересекает плоскость в собственной или несобственной точке, то каждому ненулевому вектору ставится в соответствие некоторая (собственная или несобственная) точка плоскости . На рис. вектору соответствует собственная точка А, а вектору — несобственная точка .

Примем теперь новое соглашение: собственные и несобственные точки плоскости будем считать равноправными; их будем называть просто проективными точками. Если через Р₂ обозначить множество всех проективных точек, то f есть отображение множества векторов на множество Р₂. Это отображение удовлетворяет аксиомам проективного пространства, поэтому P₂ — модель проективной плоскости. В этой модели точками являются проективные точки, т. е. собственные и несобственные точки расширенной пло­скости , а прямыми — проективные прямые, т. е. обычные (собствен­ные) прямые плоскости , каждая из которых пополнена несобствен­ной точкой, и несобственная прямая плоскости .

Деление с остатком

Ограничимся рассмотрением многочленов с одним аргу­ментом над данным числовым полем.

Теорема. Каковы бы ни были два многочлена (над данным полем)

f(x)=a_nxⁿ+ a_n–1 x^n–1+…+ a₁ x+a₀

и φ(x)= b_mx^m+ b_m–1 x^m–1+…+ b₁ x+b₀

причем φ(x)≠0, существует (над тем же полем) единственная пара многочленов q(x) и r(х), удовлетворяющих следующим условиям:

1°. степень r(х) меньше m или r(x)=0,

2°. имеет место тождество:

f(x)≡q(x)φ(x) + r(x). (1)

Многочлены q(x) и r(x) называются соответственно непол­ным частным и остатком.

Нахождение многочленов q(x) и r(х) называется делением с остатком многочлена f(x) на многочлен φ(x).

Доказательство. Если т>п, то тождество (1) удовлет­воряется при q(x)≡0 и r(x) ≡f(x). Пусть п ≥ m; разделим старший член а_пх^п многочлена f(x) на старший член b_тх^т многочлена φ(x), умножим полученное частное на φ(x) и вычтем произведение из f(x): (2)

где и т.д., откуда: f(x)=(α_n/b_m)x^n–mφ(x)+R₁(x)

где R₁(x) многочлен, находящийся в правой части тождества (2). Этот многочлен называется первым остатком отделения f(х) на φ(x). Пусть п₁ степень первого остатка и а'_п1 его стар­ший коэффициент (если а’_п–1 ≠0, то п₁ = п—1).

Если п₁ ≥m, то, поступив с R₁(x) так же, как с f(x), получим:

и

Многочлен R₂(х) называется вторым остатком от деле­ния f(x) на φ(х) и т. д. Для получения последующего остатка надо старший член предыдущего остатка разделить на старший член многочлена φ(x), умножить на полученное частное много­член ф('я) и вычесть произведение из предыдущего остатка. Опи­санный процесс можно продолжать, пока не получится в остатке многочлен R_k(x) степени более низкой, чем m, либо R_k≡0. В результате этого процесса получится тождество (1), где и r(x)=R_k(x)Согласно изложенному, деление с остатком заключается в переходе от делимого к первому остатку, от первого остатка ко второму и т. д. при помощи единообразного выполнения одних и тех же операций. Обычно эти операции выполняются при по­мощи известной схемы (деление «углом»), __________________________