Элементы квантовой механики

· Длина волны де Бройля

,

где – постоянная Планка, – импульс частицы.

· Связь импульса релятивистской частицы с кинетической энергией

,

где m – масса частицы, - кинетическая энергия.

· При малых скоростях .

· Соотношение неопределенностей Гейзенберга

,

где , - соответственно неопределенности координаты, импульса, энергии и времени, .

· Уравнение Шредингера:

- нестационарное (общее);

- стационарное;

- стационарное для линейного гармонического осциллятора,

- стационарное для кулоновского поля;

- стационарное для электрона в атоме водорода;

- стационарное для свободной частицы в трёхмерном пространстве;

- стационарное для свободной частицы в одномерной потенциальной яме ,

где – волновая функция микрочастицы, - координатная составляющая волновой функции, - полная энергия микрочастицы, - потенциальная энергия частицы, - пространственная координата, t – время,
- оператор Лапласа (записан в декартовых координатах), – масса микрочастицы, – постоянная Планка, = - мнимая единица.

· Условие нормировки волновой функции

.

· Плотности вероятности

,

где – вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой на участке , - вероятность обнаружения микрочастицы в объёме .

· Вероятность обнаружения частицы в интервале от х₁ до х₂

.

· Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика шириной
(0 ≥ x ≥ )

(собственная нормированная волновая функция)

(собственное значение энергии),

где – главное квантовое число ( = 1, 2, 3,…). В области 0 ≥ x ≥
= ∞ и = 0.

· Коэффициент прозрачности (коэффициент прохождения) прямоугольного потенциального барьера

,

где - постоянный коэффициент, близкий к единице, - масса частицы, - высота потенциального барьера, - энергия частицы, - ширина барьера.

· Энергия квантового осциллятора

,

где – главное квантовое число ( = 0, 1, 2,…), - циклическая частота.

· Для частиц с целочисленными спинами (бозонов) справедлива статистика Бозе-Эйнштейна, а для частиц с полуцелыми спинами (фермионов) справедлива статистика Ферми-Дирака. Обобщенное уравнение для квантовых статистик

,

где - среднее число частиц в состоянии с номером , - энергия частицы в этом состоянии; – так называемый химический потенциал, определяемый из условия , т. е. сумма всех частиц равна полному числу частиц в системе, знак минус (-) перед единицей в знаменателе соответствует статистике бозонов (распределению Бозе-Эйнштейна, а знак плюс (+) соответствует статистике фермионов (распределению Ферми - Дирака).